12. Найдите наибольшее значение функции у = (x-2)2(x-4) +2 на отрезке [1; 3].

Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке необходимо:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует).
3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
4. Выбрать наибольшее из полученных значений.

1) Найдём производную функции $$y = (x-2)^2(x-4) + 2$$. Сначала раскроем скобки:

$$y = (x^2 - 4x + 4)(x-4) + 2 = x^3 - 4x^2 - 4x^2 + 16x + 4x - 16 + 2 = x^3 - 8x^2 + 20x - 14$$

Теперь найдём производную:

$$y' = 3x^2 - 16x + 20$$

2) Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

$$3x^2 - 16x + 20 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 20 = 256 - 240 = 16$$ $$x_1 = \frac{16 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{16 + 4}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$$ $$x_2 = \frac{16 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{16 - 4}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

3) Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка [1; 3]:

$$y(1) = (1-2)^2(1-4) + 2 = 1 \cdot (-3) + 2 = -3 + 2 = -1$$

$$y(2) = (2-2)^2(2-4) + 2 = 0 \cdot (-2) + 2 = 2$$

$$y(3) = (3-2)^2(3-4) + 2 = 1 \cdot (-1) + 2 = -1 + 2 = 1$$

$$y(\frac{10}{3}) = (\frac{10}{3} - 2)^2 (\frac{10}{3} - 4) + 2 = (\frac{4}{3})^2 (-\frac{2}{3}) + 2 = \frac{16}{9} \cdot (-\frac{2}{3}) + 2 = -\frac{32}{27} + 2 = \frac{-32 + 54}{27} = \frac{22}{27} \approx 0.81$$

4) Выберем наибольшее из полученных значений:

Максимальное значение функции достигается в точке x = 2, и y(2) = 2.

Ответ: 2