Найдите наибольшее значение функции у=x³+10x² + 25х+11 на 13. отрезке [-13; -3,5].

Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке необходимо:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует).
3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
4. Выбрать наибольшее из полученных значений.

1) Найдём производную функции $$y = x^3 + 10x^2 + 25x + 11$$:

$$y' = 3x^2 + 20x + 25$$

2) Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

$$3x^2 + 20x + 25 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 20^2 - 4 \cdot 3 \cdot 25 = 400 - 300 = 100$$ $$x_1 = \frac{-20 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-20 + 10}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$$ $$x_2 = \frac{-20 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-20 - 10}{6} = \frac{-30}{6} = -5$$

3) Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка [-13; -3.5]:

$$y(-13) = (-13)^3 + 10(-13)^2 + 25(-13) + 11 = -2197 + 1690 - 325 + 11 = -821$$

$$y(-5) = (-5)^3 + 10(-5)^2 + 25(-5) + 11 = -125 + 250 - 125 + 11 = 11$$

$$y(-\frac{5}{3}) = (-\frac{5}{3})^3 + 10(-\frac{5}{3})^2 + 25(-\frac{5}{3}) + 11 = -\frac{125}{27} + \frac{250}{9} - \frac{125}{3} + 11 = \frac{-125 + 750 - 1125 + 297}{27} = \frac{-203}{27} \approx -7.52$$

$$y(-3.5) = (-3.5)^3 + 10(-3.5)^2 + 25(-3.5) + 11 = -42.875 + 122.5 - 87.5 + 11 = 3.125$$

4) Выберем наибольшее из полученных значений:

Максимальное значение функции достигается в точке x = -5, и y(-5) = 11.

Ответ: 11