15. Найдите точку минимума функции у = x²+196/x

Для нахождения точки минимума функции y = (x²+196)/x необходимо: 1. Найти производную функции. 2. Найти критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует). 3. Определить знак производной слева и справа от каждой критической точки. Если производная меняет знак с - на +, то это точка минимума. 1) Найдём производную функции $$y = \frac{x^2 + 196}{x}$$: $$y' = \frac{(x^2 + 196)' \cdot x - (x^2 + 196) \cdot x'}{x^2} = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 196) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 196}{x^2} = \frac{x^2 - 196}{x^2}$$ 2) Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $$\frac{x^2 - 196}{x^2} = 0$$ x^2 - 196 = 0 x^2 = 196 x = ±14 3) Определим знак производной слева и справа от каждой критической точки: При x < -14 (например, x = -15): y' = ((-15)^2 - 196) / ((-15)^2) = (225 - 196) / 225 = 29 / 225 > 0 (функция возрастает) При -14 < x < 0 (например, x = -1): y' = ((-1)^2 - 196) / ((-1)^2) = (1 - 196) / 1 = -195 < 0 (функция убывает) При 0 < x < 14 (например, x = 1): y' = ((1)^2 - 196) / ((1)^2) = (1 - 196) / 1 = -195 < 0 (функция убывает) При x > 14 (например, x = 15): y' = ((15)^2 - 196) / ((15)^2) = (225 - 196) / 225 = 29 / 225 > 0 (функция возрастает) В точке x = 14 производная меняет знак с - на +, следовательно, x = 14 - точка минимума. Ответ: 14