Найдите наибольшее значение функции y = 5tgx - 4x + π+9 на отрезке [-π/4; π/4].

Решение:

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, сравним значения функции в критических точках, лежащих на отрезке, и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции \( y = 5\tan{x} - 4x + \pi + 9 \):
   \( y' = \frac{d}{dx}(5\tan{x} - 4x + \pi + 9) = 5\sec^2{x} - 4 \).
2. Приравняем производную к нулю:
   \( 5\sec^2{x} - 4 = 0 \).
3. Решим полученное уравнение:
   \( 5\sec^2{x} = 4 \)
   \( \sec^2{x} = \frac{4}{5} \)
   \( \frac{1}{\cos^2{x}} = \frac{4}{5} \)
   \( \cos^2{x} = \frac{5}{4} \).
4. Так как \( \cos^2{x} \) всегда меньше или равно 1, а \( \frac{5}{4} > 1 \), уравнение \( \cos^2{x} = \frac{5}{4} \) не имеет решений. Это означает, что критических точек нет.
5. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции будут на концах отрезка \( [-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}] \).
6. Вычислим значения функции на концах отрезка:
• При \( x = -\frac{\pi}{4} \): \( y(-\frac{\pi}{4}) = 5\tan(-\frac{\pi}{4}) - 4(-\frac{\pi}{4}) + \pi + 9 = 5(-1) + \pi + \pi + 9 = -5 + 2\pi + 9 = 4 + 2\pi \).
• При \( x = \frac{\pi}{4} \): \( y(\frac{\pi}{4}) = 5\tan(\frac{\pi}{4}) - 4(\frac{\pi}{4}) + \pi + 9 = 5(1) - \pi + \pi + 9 = 5 + 9 = 14 \).
7. Сравним полученные значения: \( 4 + 2\pi \) и \( 14 \).
8. Приближенное значение \( \pi \approx 3.14 \). Тогда \( 4 + 2\pi \approx 4 + 2(3.14) = 4 + 6.28 = 10.28 \).
9. Сравнивая \( 10.28 \) и \( 14 \), видим, что наибольшее значение равно \( 14 \).

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке \( [-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}] \) равно \( 14 \).