Найдите точку максимума функции y = x³ + 5x² + 3x + 2.

Решение:

Чтобы найти точку максимума функции, сначала найдём её производную.

1. Найдем производную функции \( y = x^3 + 5x^2 + 3x + 2 \):
   \( y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 5x^2 + 3x + 2) = 3x^2 + 10x + 3 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( 3x^2 + 10x + 3 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \).
4. \( \sqrt{D} = \sqrt{64} = 8 \).
5. Найдем корни:
   \( x_1 = \frac{-10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \)
   \( x_2 = \frac{-10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3 \).
6. Проверим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
• При \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \( y'(-4) = 3(-4)^2 + 10(-4) + 3 = 3(16) - 40 + 3 = 48 - 40 + 3 = 11 > 0 \) (функция возрастает).
• При \( -3 < x < -\frac{1}{3} \) (например, \( x = -1 \)): \( y'(-1) = 3(-1)^2 + 10(-1) + 3 = 3 - 10 + 3 = -4 < 0 \) (функция убывает).
• При \( x > -\frac{1}{3} \) (например, \( x = 0 \)): \( y'(0) = 3(0)^2 + 10(0) + 3 = 3 > 0 \) (функция возрастает).
7. Точка \( x = -3 \) является точкой максимума, так как производная меняет знак с '+' на '-'.

Ответ: Точка максимума функции — \( x = -3 \).