Найдите точку минимума функции y = (x − 9) √x.

Решение:

Чтобы найти точку минимума функции, сначала найдём её производную.

1. Найдем производную функции \( y = (x - 9)\sqrt{x} = x^{3/2} - 9x^{1/2} \):
   \( y' = \frac{d}{dx}(x^{3/2} - 9x^{1/2}) = \frac{3}{2}x^{1/2} - 9 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{3\sqrt{x}}{2} - \frac{9}{2\sqrt{x}} \).
2. Приравняем производную к нулю:
   \( \frac{3\sqrt{x}}{2} - \frac{9}{2\sqrt{x}} = 0 \).
3. Умножим обе части на \( 2\sqrt{x} \) (при условии \( x > 0 \)):
   \( 3x - 9 = 0 \).
4. Решим полученное уравнение:
   \( 3x = 9 \)
   \( x = 3 \).
5. Проверим знаки производной на интервалах, образованных критической точкой \( x = 3 \) (учитывая, что \( x \ge 0 \) для существования \( \sqrt{x} \)):
• При \( 0 < x < 3 \) (например, \( x = 1 \)): \( y'(1) = \frac{3\sqrt{1}}{2} - \frac{9}{2\sqrt{1}} = \frac{3}{2} - \frac{9}{2} = -\frac{6}{2} = -3 < 0 \) (функция убывает).
• При \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( y'(4) = \frac{3\sqrt{4}}{2} - \frac{9}{2\sqrt{4}} = \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2 \cdot 2} = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12-9}{4} = \frac{3}{4} > 0 \) (функция возрастает).
6. Точка \( x = 3 \) является точкой минимума, так как производная меняет знак с '-' на '+'.

Ответ: Точка минимума функции — \( x = 3 \).