Найдите точку максимума функции y = 18 lnx−x².

Решение:

Чтобы найти точку максимума функции, сначала найдём её производную.

1. Найдем производную функции \( y = 18\ln{x} - x^2 \). Для существования логарифма \( x > 0 \).
   \( y' = \frac{d}{dx}(18\ln{x} - x^2) = \frac{18}{x} - 2x \).
2. Приравняем производную к нулю:
   \( \frac{18}{x} - 2x = 0 \).
3. Умножим обе части на \( x \) (при условии \( x > 0 \)):
   \( 18 - 2x^2 = 0 \).
4. Решим полученное уравнение:
   \( 2x^2 = 18 \)
   \( x^2 = 9 \).
5. Так как \( x > 0 \), то \( x = 3 \).
6. Проверим знаки производной на интервалах, образованных критической точкой \( x = 3 \) (учитывая \( x > 0 \)):
• При \( 0 < x < 3 \) (например, \( x = 1 \)): \( y'(1) = \frac{18}{1} - 2(1) = 18 - 2 = 16 > 0 \) (функция возрастает).
• При \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( y'(4) = \frac{18}{4} - 2(4) = 4.5 - 8 = -3.5 < 0 \) (функция убывает).
7. Точка \( x = 3 \) является точкой максимума, так как производная меняет знак с '+' на '-'.

Ответ: Точка максимума функции — \( x = 3 \).