Найдите наибольшее значение функции y = x³ + x² − 8x − 8 на отрезке [-3; 0].

Решение:

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, сравним значения функции в критических точках, лежащих на отрезке, и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции \( y = x^3 + x^2 - 8x - 8 \):
   \( y' = \frac{d}{dx}(x^3 + x^2 - 8x - 8) = 3x^2 + 2x - 8 \).
2. Приравняем производную к нулю:
   \( 3x^2 + 2x - 8 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100 \).
4. \( \sqrt{D} = \sqrt{100} = 10 \).
5. Найдем критические точки:
   \( x_1 = \frac{-2 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \)
   \( x_2 = \frac{-2 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2 \).
6. Из критических точек \( \frac{4}{3} \) и \( -2 \) только \( x = -2 \) принадлежит отрезку \( [-3; 0] \).
7. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, принадлежащей отрезку:
• При \( x = -3 \): \( y(-3) = (-3)^3 + (-3)^2 - 8(-3) - 8 = -27 + 9 + 24 - 8 = -2 \).
• При \( x = -2 \): \( y(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 - 8(-2) - 8 = -8 + 4 + 16 - 8 = 4 \).
• При \( x = 0 \): \( y(0) = (0)^3 + (0)^2 - 8(0) - 8 = -8 \).
8. Сравним полученные значения: \( -2, 4, -8 \). Наибольшее значение равно \( 4 \).

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке \( [-3; 0] \) равно \( 4 \).