Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 6 даёт остаток 5, при делении на 7 — остаток 6, при делении на 8 — остаток 7.

Если к числу прибавить 1, оно будет делиться без остатка на 6, 7 и 8.

Наименьшее общее кратное чисел 6, 7 и 8:

\(\operatorname{НОК}(6,7,8)=2^3\cdot3\cdot7=168\).

Значит, искомое число: \(168-1=167\).

Проверка: \(167:6=27\) (остаток 5), \(167:7=23\) (остаток 6), \(167:8=20\) (остаток 7).

Ответ: 167.