4. Найдите наименьшее значение функции у = ex-7 (x² - 9x + 9)на отрезке [6; 8].

4. Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке необходимо найти производную функции, найти критические точки на отрезке, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка, а затем выбрать наименьшее значение.

Дано:

$$y = e^{x-7}(x^2 - 9x + 9)$$

Найдем первую производную:

$$y' = e^{x-7}(x^2 - 9x + 9) + e^{x-7}(2x - 9) = e^{x-7}(x^2 - 9x + 9 + 2x - 9) = e^{x-7}(x^2 - 7x)$$

Приравняем первую производную к нулю и найдем значения x:

$$e^{x-7}(x^2 - 7x) = 0$$

Так как $$e^{x-7}$$ всегда положительно, нужно решить уравнение:

$$x^2 - 7x = 0$$ $$x(x - 7) = 0$$ $$x_1 = 0, x_2 = 7$$

Отрезок [6; 8]. $$x_1 = 0$$ не принадлежит отрезку. $$x_2 = 7$$ принадлежит отрезку. Найдем значения функции на концах отрезка и в критической точке.

$$y(6) = e^{6-7}(6^2 - 9 \cdot 6 + 9) = e^{-1}(36 - 54 + 9) = e^{-1}(-9) = -\frac{9}{e} \approx -3.31$$ $$y(7) = e^{7-7}(7^2 - 9 \cdot 7 + 9) = e^{0}(49 - 63 + 9) = 1(-5) = -5$$ $$y(8) = e^{8-7}(8^2 - 9 \cdot 8 + 9) = e^{1}(64 - 72 + 9) = e(1) = e \approx 2.72$$

Наименьшее значение из этих трех: -5.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке [6; 8]: -5.