5. Построить график функции \(f(x) = x + \frac{9}{x}\)

5. Построим график функции $$f(x) = x + \frac{9}{x}$$

Функция $$f(x) = x + \frac{9}{x}$$ представляет собой сумму линейной функции $$y = x$$ и гиперболы $$y = \frac{9}{x}$$.

1) Область определения: $$x
eq 0$$.

2) Исследуем функцию на четность/нечетность:

$$f(-x) = -x + \frac{9}{-x} = -x - \frac{9}{x} = -(x + \frac{9}{x}) = -f(x)$$

Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3) Найдем асимптоты:

• Вертикальная асимптота: $$x = 0$$.
• Наклонная асимптота: $$y = x$$.

4) Исследуем функцию на экстремумы:

$$f'(x) = 1 - \frac{9}{x^2}$$

Приравняем производную к нулю:

$$1 - \frac{9}{x^2} = 0$$ $$x^2 = 9$$ $$x = \pm 3$$

5) Найдем значения функции в точках экстремума:

$$f(3) = 3 + \frac{9}{3} = 3 + 3 = 6$$ $$f(-3) = -3 + \frac{9}{-3} = -3 - 3 = -6$$

6) Найдем вторую производную:

$$f''(x) = \frac{18}{x^3}$$

7) Определим знак второй производной в точках экстремума:

$$f''(3) = \frac{18}{3^3} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3} > 0$$, следовательно, в точке $$x = 3$$ минимум. $$f''(-3) = \frac{18}{(-3)^3} = \frac{18}{-27} = -\frac{2}{3} < 0$$, следовательно, в точке $$x = -3$$ максимум.