4. Найдите наименьшее значение функции у = ex-7 (x²-9х+9) на отрезке [6; 8].

Решение:

1. Найдём производную функции:

$$y' = e^{x-7}(x^2 - 9x + 9) + e^{x-7}(2x - 9) = e^{x-7}(x^2 - 9x + 9 + 2x - 9) = e^{x-7}(x^2 - 7x)$$

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

$$e^{x-7}(x^2 - 7x) = 0$$

Так как $$e^{x-7}$$ всегда положительно, то

$$x^2 - 7x = 0$$ $$x(x - 7) = 0$$ $$x = 0 \quad \text{или} \quad x = 7$$

3. Рассмотрим отрезок $$[6; 8]$$. Значит $$x = 7$$ принадлежит этому отрезку.

4. Вычислим значение функции на концах отрезка и в критической точке:

• $$y(6) = e^{6-7}(6^2 - 9 \cdot 6 + 9) = e^{-1}(36 - 54 + 9) = e^{-1}(-9) = -\frac{9}{e} \approx -3.31$$
• $$y(7) = e^{7-7}(7^2 - 9 \cdot 7 + 9) = e^{0}(49 - 63 + 9) = 1(-5) = -5$$
• $$y(8) = e^{8-7}(8^2 - 9 \cdot 8 + 9) = e^{1}(64 - 72 + 9) = e(1) = e \approx 2.72$$

5. Сравним значения функции: $$-\frac{9}{e} \approx -3.31$$, $$-5$$, $$e \approx 2.72$$.

Наименьшее значение функции на отрезке $$[6; 8]$$ равно $$-5$$.

Ответ: Наименьшее значение функции: $$-5$$