4. Найдите наименьшее значение функции У = 2x25x+Inx-3 57 отрезке 66 на

4. Найдем наименьшее значение функции $$y = 2x^2 - 5x + \ln x - 3$$ на отрезке $$\left[\frac{5}{6}; \frac{7}{6}\right]$$.

Сначала найдем производную функции:

$$y' = 4x - 5 + \frac{1}{x}$$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$$4x - 5 + \frac{1}{x} = 0$$

$$4x^2 - 5x + 1 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-5)^2 - 4(4)(1) = 25 - 16 = 9$$

$$x_1 = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$$

$$x_2 = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

Критические точки: $$x = 1$$ и $$x = \frac{1}{4}$$. Так как заданный отрезок $$\left[\frac{5}{6}; \frac{7}{6}\right]$$, то $$x=\frac{1}{4}$$ не входит в данный отрезок.

Проверим, входит ли $$x=1$$ в отрезок $$\left[\frac{5}{6}; \frac{7}{6}\right]$$:

$$\frac{5}{6} \approx 0.83$$

$$\frac{7}{6} \approx 1.16$$

Значит $$x = 1$$ принадлежит отрезку $$\left[\frac{5}{6}; \frac{7}{6}\right]$$.

Теперь вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

$$y(\frac{5}{6}) = 2(\frac{5}{6})^2 - 5(\frac{5}{6}) + \ln(\frac{5}{6}) - 3 = 2(\frac{25}{36}) - \frac{25}{6} + \ln(\frac{5}{6}) - 3 = \frac{25}{18} - \frac{75}{18} + \ln(\frac{5}{6}) - \frac{54}{18} = \frac{-104}{18} + \ln(\frac{5}{6}) \approx -5.77 - 0.18 = -5.95$$

$$y(1) = 2(1)^2 - 5(1) + \ln(1) - 3 = 2 - 5 + 0 - 3 = -6$$

$$y(\frac{7}{6}) = 2(\frac{7}{6})^2 - 5(\frac{7}{6}) + \ln(\frac{7}{6}) - 3 = 2(\frac{49}{36}) - \frac{35}{6} + \ln(\frac{7}{6}) - 3 = \frac{49}{18} - \frac{105}{18} + \ln(\frac{7}{6}) - \frac{54}{18} = \frac{-110}{18} + \ln(\frac{7}{6}) \approx -6.11 + 0.15 = -5.96$$

Наименьшее значение функции: $$y(1) = -6$$.

Ответ: Наименьшее значение функции: -6.