5. Построить график функции f(x) = -x³ + 3x²-2

5. Построим график функции $$f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2$$.

Сначала найдем производную функции:

$$f'(x) = -3x^2 + 6x$$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$$-3x^2 + 6x = 0$$

$$-3x(x - 2) = 0$$

Критические точки: $$x = 0$$ и $$x = 2$$.

Теперь найдем вторую производную функции:

$$f''(x) = -6x + 6$$

Определим знаки второй производной в критических точках:

$$f''(0) = -6(0) + 6 = 6 > 0$$

$$f''(2) = -6(2) + 6 = -12 + 6 = -6 < 0$$

Так как $$f''(0) > 0$$, то $$x = 0$$ - точка минимума. Так как $$f''(2) < 0$$, то $$x = 2$$ - точка максимума.

Найдем значения функции в этих точках:

$$f(0) = -(0)^3 + 3(0)^2 - 2 = -2$$

$$f(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 - 2 = -8 + 12 - 2 = 2$$

Точка минимума: $$(0; -2)$$, точка максимума: $$(2; 2)$$.

Найдем точки пересечения с осью OX:

$$-x^3 + 3x^2 - 2 = 0$$

Заметим, что $$x = 1$$ является корнем уравнения: $$-1 + 3 - 2 = 0$$.

Разделим многочлен $$-x^3 + 3x^2 - 2$$ на $$(x - 1)$$:

       -x^2 + 2x + 2
x - 1 | -x^3 + 3x^2 + 0x - 2
       -x^3 + x^2
       -------------
             2x^2 + 0x
             2x^2 - 2x
             -----------
                    2x - 2
                    2x - 2
                    -------
                         0

Получаем: $$-x^3 + 3x^2 - 2 = (x - 1)(-x^2 + 2x + 2) = 0$$.

Найдем корни квадратного уравнения $$-x^2 + 2x + 2 = 0$$.

$$D = 2^2 - 4(-1)(2) = 4 + 8 = 12$$

$$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{-2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{-2} = 1 \mp \sqrt{3}$$

Корни: $$x_1 = 1 - \sqrt{3} \approx -0.73$$ и $$x_2 = 1 + \sqrt{3} \approx 2.73$$.

Точки пересечения с осью OX: $$(1; 0)$$, $$(1 - \sqrt{3}; 0)$$ и $$(1 + \sqrt{3}; 0)$$.

Точка пересечения с осью OY: $$(0; -2)$$.

График функции:

Ответ: График функции построен.