3. Найдите точку максимума функции y X x²+441

3. Найдем точку максимума функции $$y = -\frac{x}{x^2 + 441}$$.

Сначала найдем производную функции:

$$y' = -\frac{(x^2 + 441) - x(2x)}{(x^2 + 441)^2} = -\frac{x^2 + 441 - 2x^2}{(x^2 + 441)^2} = -\frac{441 - x^2}{(x^2 + 441)^2} = \frac{x^2 - 441}{(x^2 + 441)^2}$$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$$\frac{x^2 - 441}{(x^2 + 441)^2} = 0$$

$$x^2 - 441 = 0$$

$$x^2 = 441$$

Критические точки: $$x = 21$$ и $$x = -21$$.

Проверим знаки производной на интервалах:

• $$(-\infty; -21)$$: выберем $$x = -22$$, тогда $$y' = \frac{(-22)^2 - 441}{((-22)^2 + 441)^2} = \frac{484 - 441}{(484 + 441)^2} = \frac{43}{(925)^2} > 0$$.
• $$(-21; 21)$$: выберем $$x = 0$$, тогда $$y' = \frac{0^2 - 441}{(0^2 + 441)^2} = \frac{-441}{(441)^2} < 0$$.
• $$(21; +\infty)$$: выберем $$x = 22$$, тогда $$y' = \frac{(22)^2 - 441}{((22)^2 + 441)^2} = \frac{484 - 441}{(484 + 441)^2} = \frac{43}{(925)^2} > 0$$.

Точка максимума - это точка, где производная меняет знак с + на -. Следовательно, точка максимума - $$x = -21$$.

Ответ: Точка максимума: $$x = -21$$.