Найдите неизвестную сторону x: а) прямоугольный треугольник, гипотенуза 51, основание разделено высотой на отрезки 3 и 12, x — высота к гипотенузе; б) прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 и катетом 4, x — высота к гипотенузе; в) прямоугольный треугольник с катетами 6 и 31, x — отрезок гипотенузы у катета 6, образованный высотой.

а) Для высоты к гипотенузе справедливо \(x^2=pq\), где p и q — части гипотенузы. Получаем \(x=\sqrt{3\cdot12}=6\).

б) Второй катет по теореме Пифагора равен \(\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt3\). Площадь выражается двумя способами: \(S=\frac12\cdot4\cdot4\sqrt3=8\sqrt3\) и \(S=\frac12\cdot8\cdot x\). Следовательно, \(x=2\sqrt3\).

в) Гипотенуза равна \(c=\sqrt{6^2+31^2}=\sqrt{997}\). Проекция катета 6 на гипотенузу равна квадрату катета, делённому на гипотенузу: \(x=\frac{6^2}{\sqrt{997}}=\frac{36}{\sqrt{997}}\approx1.14\).