Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла α: а) прямоугольный треугольник, гипотенуза 51, прилежащий к α катет 21; б) прямоугольный треугольник, гипотенуза 10, прилежащий к α катет 6, противолежащий катет 8; в) прямоугольный треугольник, гипотенуза 7, противолежащий катет 3.

Для прямоугольного треугольника: синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего катета к гипотенузе, тангенс — противолежащего к прилежащему, котангенс — прилежащего к противолежащему.

а) Не хватает длины второго катета. По теореме Пифагора он равен \(\sqrt{51^2-21^2}=\sqrt{2160}=12\sqrt{15}\). Следовательно, \(\sin\alpha=\frac{4\sqrt{15}}{17}\), \(\cos\alpha=\frac{7}{17}\), \(\tan\alpha=\frac{4\sqrt{15}}{7}\), \(\cot\alpha=\frac{7\sqrt{15}}{60}\).

б) \(\sin\alpha=\frac{8}{10}=\frac45\), \(\cos\alpha=\frac{6}{10}=\frac35\), \(\tan\alpha=\frac86=\frac43\), \(\cot\alpha=\frac68=\frac34\).

в) Второй катет равен \(\sqrt{7^2-3^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\). Так как угол α находится напротив катета длины 3, \(\sin\alpha=\frac37\), \(\cos\alpha=\frac{2\sqrt{10}}7\), \(\tan\alpha=\frac{3}{2\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{20}\), \(\cot\alpha=\frac{2\sqrt{10}}3\).