200. Найдите неизвестные стороны прямоугольного тре- угольника АВС (∠C= 90'), если: 1) BC = 2 см, cosB=2/3 2) АС = 3 см, sinB = 1/4

Ответ: 1) \(AB = 3\) см, \(AC = \sqrt{5}\) см; 2) \(AB = 12\) см, \(BC = \sqrt{135}\) см

1. 1) Дано: \(BC = 2\) см, \(\cos B = \frac{2}{3}\). Найти: \(AB\), \(AC\).
   • Найдем \(AB\) (гипотенузу): Из определения косинуса: \(\cos B = \frac{BC}{AB}\). Следовательно, \(AB = \frac{BC}{\cos B} = \frac{2}{\frac{2}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3\) см.
   • Найдем \(AC\) (катет): По теореме Пифагора: \(AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}\) см.
2. 2) Дано: \(AC = 3\) см, \(\sin B = \frac{1}{4}\). Найти: \(AB\), \(BC\).
   • Найдем \(AB\) (гипотенузу): Из определения синуса: \(\sin B = \frac{AC}{AB}\). Следовательно, \(AB = \frac{AC}{\sin B} = \frac{3}{\frac{1}{4}} = 3 \cdot 4 = 12\) см.
   • Найдем \(BC\) (катет): По теореме Пифагора: \(BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{12^2 - 3^2} = \sqrt{144 - 9} = \sqrt{135} = \sqrt{9 \cdot 15} = 3\sqrt{15}\) см.

Ответ: 1) \(AB = 3\) см, \(AC = \sqrt{5}\) см; 2) \(AB = 12\) см, \(BC = \sqrt{135}\) см