659 Найдите объем прямой призмы $$ABCA_1B_1C_1$$, если: а) $$∠BAC = 120°$$, $$AB = 5$$ см, $$AC = 3$$ см и наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см²; б) $$∠AB₁C = 60°$$, $$AB₁ = 3$$, $$CB₁ = 2$$ и двугранный угол с ребром $$BB_1$$ прямой.

Разберем задачу по пунктам.

а) Дано: прямая призма $$ABCA_1B_1C_1$$, $$∠BAC = 120°$$, $$AB = 5$$ см, $$AC = 3$$ см, $$S_{бок.max} = 35$$ см².
Найти: $$V$$ призмы.

Решение:

1. Найдем площадь основания призмы: $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot sin∠BAC$$ $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot sin120° = \frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \approx 6,495 \text{ см}^2$$
2. Так как призма прямая, то боковые грани - прямоугольники. Наибольшая площадь боковой грани равна 35 см², значит, наибольшая сторона основания равна 5 см. Следовательно, высота призмы: $$h = \frac{S_{бок.max}}{AB} = \frac{35}{5} = 7 \text{ см}$$
3. Найдем объем призмы: $$V = S_{осн} \cdot h$$ $$V = \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdot 7 = \frac{105\sqrt{3}}{4} \approx 45,465 \text{ см}^3$$

Ответ: $$V = \frac{105\sqrt{3}}{4} \approx 45,465 \text{ см}^3$$

б) Дано: прямая призма $$ABCA_1B_1C_1$$, $$∠AB₁C = 60°$$, $$AB₁ = 3$$, $$CB₁ = 2$$, двугранный угол с ребром $$BB_1$$ прямой.
Найти: $$V$$ призмы.

Решение:

1. Так как двугранный угол с ребром $$BB_1$$ прямой, то $$BB_1$$ перпендикулярна плоскости $$AB_1C$$, следовательно, треугольник $$AB_1C$$ - прямоугольный, и $$AC$$ - гипотенуза. По теореме Пифагора найдем $$AC$$: $$AC^2 = AB_1^2 + CB_1^2$$ $$AC^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$$ $$AC = \sqrt{13}$$
2. Найдем площадь треугольника $$AB_1C$$: $$S_{AB_1C} = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot CB_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$$
3. Пусть $$BH$$ - высота треугольника $$AB_1C$$, тогда: $$S_{AB_1C} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$$ $$BH = \frac{2S_{AB_1C}}{AC} = \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$$
4. Так как призма прямая, то $$BB_1$$ - высота призмы и $$BB_1 = BH$$: $$BB_1 = \frac{6}{\sqrt{13}}$$
5. Недостаточно данных для нахождения объема призмы.

Ответ: недостаточно данных.