661 Найдите объем прямой призмы $$ABCA_1B_1C_1$$, если $$AB = BC$$, $$∠ABC = α$$, диагональ $$A_1C$$ равна $$l$$ и составляет с плоскостью основания угол $$β$$.

Дано: прямая призма $$ABCA_1B_1C_1$$, $$AB = BC$$, $$∠ABC = α$$, $$A_1C = l$$, $$∠(A_1C, пл. ABC) = β$$.
Найти: $$V$$ призмы.

Решение:

1. Из прямоугольного треугольника $$ACC_1$$ найдем высоту $$CC_1$$: $$sinβ = \frac{CC_1}{A_1C}$$ $$CC_1 = A_1C \cdot sinβ = l \cdot sinβ$$
2. Найдем $$AC$$ из прямоугольного треугольника $$ACC_1$$: $$cosβ = \frac{AC}{A_1C}$$ $$AC = A_1C \cdot cosβ = l \cdot cosβ$$
3. Найдем площадь основания призмы - треугольника $$ABC$$: $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot sin∠ABC$$ Так как $$AB = BC$$, то обозначим их за $$x$$: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos∠ABC$$ $$(l \cdot cosβ)^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot cosα$$ $$l^2 cos^2β = 2x^2 - 2x^2 cosα = 2x^2(1 - cosα)$$ $$x^2 = \frac{l^2 cos^2β}{2(1 - cosα)}$$ $$x = \sqrt{\frac{l^2 cos^2β}{2(1 - cosα)}} = \frac{l cosβ}{\sqrt{2(1 - cosα)}}$$ Тогда: $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot \frac{l cosβ}{\sqrt{2(1 - cosα)}} \cdot \frac{l cosβ}{\sqrt{2(1 - cosα)}} \cdot sinα = \frac{l^2 cos^2β \cdot sinα}{4(1 - cosα)}$$
4. Найдем объем призмы: $$V = S_{осн} \cdot CC_1$$ $$V = \frac{l^2 cos^2β \cdot sinα}{4(1 - cosα)} \cdot l \cdot sinβ = \frac{l^3 cos^2β \cdot sinα \cdot sinβ}{4(1 - cosα)}$$

Ответ: $$V = \frac{l^3 cos^2β \cdot sinα \cdot sinβ}{4(1 - cosα)}$$