660 Найдите объем прямой призмы $$ABCA_1B_1C_1$$, если $$AB = BC = m$$, $$∠ABC = φ$$ и $$BB_1 = BD$$, где $$BD$$ — высота треугольника $$ABC$$.

Дано: прямая призма $$ABCA_1B_1C_1$$, $$AB = BC = m$$, $$∠ABC = φ$$, $$BB_1 = BD$$, $$BD$$ - высота треугольника $$ABC$$.
Найти: $$V$$ призмы.

Решение:

1. Найдем площадь основания призмы - треугольника $$ABC$$: $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot sin∠ABC$$ $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot m \cdot sinφ = \frac{m^2}{2} sinφ$$
2. Найдем высоту $$BD$$ треугольника $$ABC$$: $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$$ Найдем $$AC$$ по теореме косинусов: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos∠ABC$$ $$AC^2 = m^2 + m^2 - 2 \cdot m \cdot m \cdot cosφ = 2m^2 - 2m^2 cosφ = 2m^2(1 - cosφ)$$ $$AC = \sqrt{2m^2(1 - cosφ)} = m\sqrt{2(1 - cosφ)}$$ Тогда: $$BD = \frac{2S_{осн}}{AC} = \frac{2 \cdot \frac{m^2}{2} sinφ}{m\sqrt{2(1 - cosφ)}} = \frac{m sinφ}{\sqrt{2(1 - cosφ)}}$$
3. Так как $$BB_1 = BD$$, то $$BB_1 = \frac{m sinφ}{\sqrt{2(1 - cosφ)}}$$.
4. Найдем объем призмы: $$V = S_{осн} \cdot BB_1$$ $$V = \frac{m^2}{2} sinφ \cdot \frac{m sinφ}{\sqrt{2(1 - cosφ)}} = \frac{m^3 sin^2φ}{2\sqrt{2(1 - cosφ)}}$$

Ответ: $$V = \frac{m^3 sin^2φ}{2\sqrt{2(1 - cosφ)}}$$