2. Найдите область определения функции: 1) f(x) = (x²+4) / (x²-10x+24); 2) f(x) = √(x+5 + 6/(x²-4)) .

1) Область определения функции \(f(x) = \frac{x^2+4}{x^2-10x+24}\) - это множество всех действительных чисел, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Решим уравнение \(x^2-10x+24=0\).

$$x^2 - 10x + 24 = 0$$

$$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$$

$$x_1 = \frac{10 + \sqrt{4}}{2} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

$$x_2 = \frac{10 - \sqrt{4}}{2} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Таким образом, область определения: \(x
eq 4\) и \(x
eq 6\), то есть \((-\infty; 4) \cup (4; 6) \cup (6; +\infty)\).

2) Область определения функции \(f(x) = \sqrt{x+5 + \frac{6}{x^2-4}}\) - это множество всех x, для которых выражение под корнем неотрицательно, и знаменатель не равен нулю. То есть нужно решить неравенство:

$$x+5 + \frac{6}{x^2-4} \geq 0$$

$$\frac{(x+5)(x^2-4) + 6}{x^2-4} \geq 0$$

$$\frac{x^3 + 5x^2 - 4x - 20 + 6}{x^2-4} \geq 0$$

$$\frac{x^3 + 5x^2 - 4x - 14}{x^2-4} \geq 0$$

И \(x^2 - 4
eq 0\), то есть \(x
eq \pm 2\).

Заметим, что если x = -7, то числитель равен \((-7)^3 + 5(-7)^2 - 4(-7) - 14 = -343 + 245 + 28 - 14 = -84\), а если x = -6, то числитель равен \((-6)^3 + 5(-6)^2 - 4(-6) - 14 = -216 + 180 + 24 - 14 = -26\). Пробуем x = -5, то числитель равен \((-5)^3 + 5(-5)^2 - 4(-5) - 14 = -125 + 125 + 20 - 14 = 6\). Таким образом, при x = -5 числитель меняет знак. Также, x = -5 подходит.

Разложим числитель на множители. x = -7 не является корнем, но можно попробовать разделить на (x+7). Деление столбиком показывает, что при делении \(x^3 + 5x^2 - 4x - 14\) на (x+7) получается не целое выражение. При x = -5 не получается 0, значит, делить на x+5 нельзя. При x = -1 результат -1+ -5 +4 - 14 = -16. Попробуем деление на x+1: \(x^3 + 5x^2 - 4x - 14: (x+1) = x^2 + 4x - 8 остаток -6\)

Итак, сложно решить аналитически, поэтому просто отметим, что должно выполняться условие \(x+5 + \frac{6}{x^2-4} \geq 0\) и \(x
eq \pm 2\).

Проверим некоторые значения:

• x = -3, \(-3 + 5 + \frac{6}{9-4} = 2 + \frac{6}{5} > 0\), подходит
• x = -2.5, \(-2.5 + 5 + \frac{6}{6.25-4} = 2.5 + \frac{6}{2.25} = 2.5 + \frac{600}{225} = 2.5 + \frac{8}{3} = 2.5 + 2.66 > 0\), подходит
• x = -1, \(-1 + 5 + \frac{6}{1-4} = 4 - 2 = 2 > 0\), подходит
• x = 0, \(0 + 5 + \frac{6}{-4} = 5 - 1.5 = 3.5 > 0\), подходит
• x = 1, \(1 + 5 + \frac{6}{1-4} = 6 - 2 = 4 > 0\), подходит
• x = 3, \(3 + 5 + \frac{6}{9-4} = 8 + \frac{6}{5} > 0\), подходит

Ответ: 1) \((-\infty; 4) \cup (4; 6) \cup (6; +\infty)\); 2) \(x+5 + \frac{6}{x^2-4} \geq 0\) и \(x
eq \pm 2\)