Найдите область определения функции y = \sqrt{\frac{x - 4}{24 + 2x - x²}}.

Область определения функции находится из условия, что подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю, а также знаменатель не должен быть равен нулю:

$$\frac{x - 4}{24 + 2x - x^2} \ge 0$$

Решим методом интервалов:

1. Найдем нули числителя: $$x - 4 = 0$$ $$x = 4$$
2. Найдем нули знаменателя: $$24 + 2x - x^2 = 0$$ $$x^2 - 2x - 24 = 0$$

• Найдем дискриминант квадратного уравнения $$x^2 - 2x - 24 = 0$$: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$$
• Найдем корни квадратного уравнения: $$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Нулями знаменателя являются $$x = -4$$ и $$x = 6$$.

Отметим точки на числовой прямой. Точки -4 и 6 не входят в область определения, так как знаменатель не может быть равен нулю.

-          +         -         +
---(-4)----(4)----(6)---->

Из неравенства требуется выбрать интервалы, где функция принимает положительные значения или равна нулю. В данном случае числитель равен нулю, следовательно, $$x = 4$$ входит в область определения.

$$x \in (-4; 4] \cup (6; +\infty)$$.

Ответ: $$x \in (-4; 4] \cup (6; +\infty)$$