Решите систему неравенств \begin{cases} 4x² – 11x + 6 < 0, \\ –0,9x ≥ –1,5. \end{cases}

Решим систему неравенств.

$$\begin{cases} 4x^2 - 11x + 6 < 0, \\ -0.9x \ge -1.5. \end{cases}$$

1. Решим первое неравенство: $$4x^2 - 11x + 6 < 0$$

• Найдем дискриминант квадратного уравнения $$4x^2 - 11x + 6 = 0$$: $$D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 121 - 96 = 25$$
• Найдем корни квадратного уравнения: $$x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{11 + 5}{8} = \frac{16}{8} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{11 - 5}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$
• Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки $$x = \frac{3}{4}$$ и $$x = 2$$. Определим знаки на каждом интервале.

+         -          +
----(3/4)----(2)----->

Решением неравенства является интервал, где функция принимает отрицательные значения.

$$x \in \left(\frac{3}{4}; 2\right)$$.

1. Решим второе неравенство: $$-0.9x \ge -1.5$$

• Разделим обе части неравенства на -0.9, не забыв изменить знак неравенства: $$x \le \frac{-1.5}{-0.9} = \frac{1.5}{0.9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$$

$$x \le 1\frac{2}{3}$$.

1. Найдем пересечение решений двух неравенств: $$x \in \left(\frac{3}{4}; 2\right)$$ $$x \le 1\frac{2}{3}$$

$$\frac{3}{4} = 0.75$$ $$1\frac{2}{3} = \frac{5}{3} ≈ 1.67$$ $$2 = 2$$

$$x \in \left(\frac{3}{4}; 1\frac{2}{3}\right]$$

Ответ: $$x \in \left(\frac{3}{4}; 1\frac{2}{3}\right]$$