Решите неравенство: a) 6x² – 11x – 2 < 0; б) x² – 8x + 16 ≤ 0; в) 5x – x² ≤ 0.

Решим каждое неравенство по отдельности:

a) $$6x^2 - 11x - 2 < 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$6x^2 - 11x - 2 = 0$$

$$D = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 121 + 48 = 169$$

$$x_1 = \frac{11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{11+13}{12} = \frac{24}{12} = 2$$

$$x_2 = \frac{11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{11-13}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то парабола направлена вверх. Решением неравенства является интервал между корнями.

$$x \in \left(-\frac{1}{6}; 2\right)$$

б) $$x^2 - 8x + 16 \le 0$$

$$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$$

$$(x - 4)^2 \le 0$$

Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому данное неравенство выполняется только при $$x - 4 = 0$$

$$x = 4$$

в) $$5x - x^2 \le 0$$

$$x(5 - x) \le 0$$

Найдем корни уравнения $$x(5 - x) = 0$$

$$x_1 = 0$$

$$5 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 5$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный, то парабола направлена вниз. Решением неравенства являются интервалы вне корней.

$$x \in (-\infty; 0] \cup [5; +\infty)$$

Ответ: a) $$x \in \left(-\frac{1}{6}; 2\right)$$; б) $$x = 4$$; в) $$x \in (-\infty; 0] \cup [5; +\infty)$$.