3. Найдите область определения функции: 1) y = √4x - x²; 2) y = 8 √12 + x - x².

1) $$y = \sqrt{4x - x^2}$$

Область определения: $$4x - x^2 \ge 0$$

$$x(4 - x) \ge 0$$

$$x(x - 4) \le 0$$

Корни: $$x = 0, x = 4$$

Интервалы: $$(-\infty; 0], [0; 4], [4; +\infty)$$

Проверим знаки:

$$x = -1: -1(-1 - 4) = -1(-5) = 5 > 0$$

$$x = 2: 2(2 - 4) = 2(-2) = -4 < 0$$

$$x = 5: 5(5 - 4) = 5(1) = 5 > 0$$

Область определения: $$[0; 4]$$

2) $$y = \frac{8}{\sqrt{12 + x - x^2}}$$ Область определения: $$12 + x - x^2 > 0$$

$$x^2 - x - 12 < 0$$

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$

$$x_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

$$(x - 4)(x + 3) < 0$$

Интервалы: $$(-\infty; -3), (-3; 4), (4; +\infty)$$

Проверим знаки:

$$x = -4: (-4 - 4)(-4 + 3) = (-8)(-1) = 8 > 0$$

$$x = 0: (0 - 4)(0 + 3) = (-4)(3) = -12 < 0$$

$$x = 5: (5 - 4)(5 + 3) = (1)(8) = 8 > 0$$

Область определения: $$(-3; 4)$$

Ответ: 1) $$[0; 4]$$, 2) $$(-3; 4)$$