5. Найдите область определения функции: a) y=√13x-5x²; 6) y=√(x²+4x-5)/(3x-4)

a) y = √(13x - 5x²)

Область определения функции - это множество значений x, при которых выражение под корнем неотрицательно.

13x - 5x² ≥ 0

5x² - 13x ≤ 0

x(5x - 13) ≤ 0

Решим методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки 0 и 13/5, в которых выражение обращается в нуль.

++++++++++++(0)------------(13/5)++++++++++++> x

Выбираем интервал, где выражение меньше или равно нулю.

x ∈ [0; 13/5]

б) y = √(x² + 4x - 5) / (3x - 4)

Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю.

(x² + 4x - 5) / (3x - 4) ≥ 0

3x - 4 ≠ 0

x ≠ 4/3

Найдем корни квадратного уравнения x² + 4x - 5 = 0

D = 4² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36

x₁ = (-4 - √36) / (2 * 1) = (-4 - 6) / 2 = -10 / 2 = -5

x₂ = (-4 + √36) / (2 * 1) = (-4 + 6) / 2 = 2 / 2 = 1

((x + 5)(x - 1)) / (3x - 4) ≥ 0

Решим методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки -5, 1 и 4/3, в которых выражение обращается в нуль или не существует.

------------(-5)++++++++++++(1)------------(4/3)++++++++++++> x

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

x ∈ [-5; 1] ∪ (4/3; +∞)

Ответ: а) x ∈ [0; 13/5]; б) x ∈ [-5; 1] ∪ (4/3; +∞)