5. Найдите область определения функции: a) y=√4x-9x²; б) у = x²+12x+20 ; 2x-52 в) у = √6x-2x² + √8-5x.

Решение:

a) Найдем область определения функции $$y = \sqrt{4x - 9x^2}$$.

Чтобы функция была определена, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$4x - 9x^2 \ge 0$$.

$$x(4 - 9x) \ge 0$$.

Найдем нули: $$x = 0$$ и $$x = \frac{4}{9}$$.

Применим метод интервалов:

        -        +        -
<----------------------------------------->
       0       4/9

Решением неравенства будет интервал $$0 \le x \le \frac{4}{9}$$.

б) Найдем область определения функции $$y = \frac{\sqrt{x^2 + 12x + 20}}{2x - 52}$$.

Чтобы функция была определена, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным и знаменатель не равнялся нулю:

$$x^2 + 12x + 20 \ge 0$$.

$$ (x + 2)(x + 10) \ge 0$$.

Найдем корни: $$x = -2$$ и $$x = -10$$.

Применим метод интервалов:

        +        -        +
<----------------------------------------->
     -10      -2

Решением неравенства будет $$x \le -10$$ и $$x \ge -2$$.

$$2x - 52
e 0$$, $$x
e 26$$.

Таким образом, область определения функции: $$x \in (-\infty; -10] \cup [-2; 26) \cup (26; +\infty)$$.

в) Найдем область определения функции $$y = \sqrt{6x - 2x^2} + \sqrt{8 - 5x}$$.

Чтобы функция была определена, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательными:

$$6x - 2x^2 \ge 0$$ и $$8 - 5x \ge 0$$.

$$2x(3 - x) \ge 0$$ и $$5x \le 8$$.

$$x(3 - x) \ge 0$$ и $$x \le \frac{8}{5} = 1.6$$.

Решим первое неравенство: $$x(x - 3) \le 0$$.

Нули: $$x = 0$$ и $$x = 3$$.

        +        -        +
<----------------------------------------->
       0       3

Решением будет $$0 \le x \le 3$$.

Второе неравенство: $$x \le 1.6$$.

Таким образом, область определения функции: $$0 \le x \le 1.6$$.

Ответ: а) $$0 \le x \le \frac{4}{9}$$; б) $$x \in (-\infty; -10] \cup [-2; 26) \cup (26; +\infty)$$; в) $$0 \le x \le 1.6$$.