4. Решите неравенство: a) 6x+9 <0; б) 2x-4 ≤4. x-8 x+6

Решение:

a) Решим неравенство $$\frac{6x+9}{x-8} < 0$$.

Найдем нули числителя и знаменателя:

$$6x + 9 = 0$$; $$x = -\frac{9}{6} = -1.5$$.

$$x - 8 = 0$$; $$x = 8$$.

Применим метод интервалов:

        +        -        +
<----------------------------------------->
     -1.5        8

Решением неравенства будет интервал $$-1.5 < x < 8$$.

б) Решим неравенство $$\frac{2x-4}{x+6} \le 4$$.

$$\frac{2x-4}{x+6} - 4 \le 0$$.

$$\frac{2x-4 - 4(x+6)}{x+6} \le 0$$.

$$\frac{2x-4 - 4x - 24}{x+6} \le 0$$.

$$\frac{-2x - 28}{x+6} \le 0$$.

$$\frac{2x + 28}{x+6} \ge 0$$.

Найдем нули числителя и знаменателя:

$$2x + 28 = 0$$; $$x = -14$$.

$$x + 6 = 0$$; $$x = -6$$.

Применим метод интервалов:

        +        -        +
<----------------------------------------->
     -14       -6

Решением неравенства будут интервалы $$x \le -14$$ и $$x > -6$$.

Ответ: a) $$-1.5 < x < 8$$; б) $$x \in (-\infty; -14] \cup (-6; +\infty)$$.