5. Найдите область определения функции: a) y = √4x - 9x2; б) у = √x² + 12x + 20 2x-52 ; B) y = √6x - 2x² + √8 - 5x.

5. Найдите область определения функции:

a) $$y = \sqrt{4x - 9x^2}$$

Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:

$$4x - 9x^2 \ge 0$$

$$x(4 - 9x) \ge 0$$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули:

$$x = 0$$ и $$4 - 9x = 0$$$$\Rightarrow$$$$x = \frac{4}{9}$$

Интервалы:

• $$x < 0$$: $$(-1)(4 - 9(-1)) = (-1)(13) = -13 < 0$$
• $$0 < x < \frac{4}{9}$$: $$(0.1)(4 - 9(0.1)) = (0.1)(3.1) = 0.31 > 0$$
• $$x > \frac{4}{9}$$: $$(1)(4 - 9(1)) = (1)(-5) = -5 < 0$$

Получаем $$0 \le x \le \frac{4}{9}$$

б) $$y = \frac{\sqrt{x^2 + 12x + 20}}{2x-52}$$

Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным, и знаменатель не должен быть равен нулю:

$$x^2 + 12x + 20 \ge 0$$

$$2x - 52
e 0$$

Решим квадратное неравенство:

$$x^2 + 12x + 20 = 0$$

$$D = 12^2 - 4(1)(20) = 144 - 80 = 64$$

$$x_1 = \frac{-12 + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{-12 + 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

$$x_2 = \frac{-12 - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{-12 - 8}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$

$$(x + 10)(x + 2) \ge 0$$

Интервалы:

• $$x < -10$$: $$(-11 + 10)(-11 + 2) = (-1)(-9) = 9 > 0$$
• $$-10 < x < -2$$: $$(-5 + 10)(-5 + 2) = (5)(-3) = -15 < 0$$
• $$x > -2$$: $$(0 + 10)(0 + 2) = (10)(2) = 20 > 0$$

Получаем $$x \le -10$$ или $$x \ge -2$$

Решим неравенство со знаменателем:

$$2x - 52
e 0$$$$\Rightarrow$$ $$2x
e 52$$$$\Rightarrow$$ $$x
e 26$$

Таким образом, область определения: $$x \le -10$$ или $$-2 \le x < 26$$ или $$x > 26$$

в) $$y = \sqrt{6x - 2x^2} + \sqrt{8 - 5x}$$

Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:

$$6x - 2x^2 \ge 0$$ и $$8 - 5x \ge 0$$

Решим первое неравенство:

$$6x - 2x^2 \ge 0$$

$$2x(3 - x) \ge 0$$

Нули: $$x = 0$$ и $$x = 3$$

Интервалы:

• $$x < 0$$: $$2(-1)(3 - (-1)) = -2(4) = -8 < 0$$
• $$0 < x < 3$$: $$2(1)(3 - (1)) = 2(2) = 4 > 0$$
• $$x > 3$$: $$2(4)(3 - (4)) = 8(-1) = -8 < 0$$

Получаем $$0 \le x \le 3$$

Решим второе неравенство:

$$8 - 5x \ge 0$$

$$5x \le 8$$

$$x \le \frac{8}{5} = 1.6$$

Совместим оба решения: $$0 \le x \le 3$$ и $$x \le 1.6$$

Таким образом, область определения: $$0 \le x \le 1.6$$

Ответ: a) $$x \in [0; \frac{4}{9}]$$, б) $$x \in (-\infty; -10] \cup [-2; 26) \cup (26; +\infty)$$, в) $$x \in [0; 1.6]$$