Вариант 4 •1. Решите неравенство: a) 5x2 + 3x – 8 > 0; б) х² < 16; в) 5x2 - 4x + 21 > 0.

1. Решите неравенство:

a) $$5x^2 + 3x - 8 > 0$$

Найдем дискриминант квадратного уравнения: $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 9 + 160 = 169$$

Так как дискриминант больше нуля, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 + 13}{10} = \frac{10}{10} = 1$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 - 13}{10} = \frac{-16}{10} = -1.6$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, парабола направлена вверх. Неравенство $$5x^2 + 3x - 8 > 0$$ выполняется вне интервала между корнями:

$$x < -1.6$$ или $$x > 1$$

б) $$x^2 < 16$$

$$x^2 - 16 < 0$$

$$(x - 4)(x + 4) < 0$$

Решим методом интервалов. Корни уравнения: $$x = -4$$ и $$x = 4$$. Определим знаки на интервалах:

$$x < -4$$, например, $$x = -5$$: $$(-5 - 4)(-5 + 4) = (-9)(-1) = 9 > 0$$

$$-4 < x < 4$$, например, $$x = 0$$: $$(0 - 4)(0 + 4) = (-4)(4) = -16 < 0$$

$$x > 4$$, например, $$x = 5$$: $$(5 - 4)(5 + 4) = (1)(9) = 9 > 0$$

Неравенство $$x^2 < 16$$ выполняется на интервале $$-4 < x < 4$$

в) $$5x^2 - 4x + 21 > 0$$

Найдем дискриминант квадратного уравнения: $$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 21 = 16 - 420 = -404$$

Так как дискриминант отрицателен, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Поскольку коэффициент при $$x^2$$ положителен, парабола всегда выше оси x, то есть неравенство $$5x^2 - 4x + 21 > 0$$ выполняется для всех действительных чисел $$x$$

Ответ: а) $$x < -1.6$$ или $$x > 1$$, б) $$-4 < x < 4$$, в) $$x \in \mathbb{R}$$