4. Решите неравенство: a) 6x+9 x-8 <0; б) 2x-4 x+6 ≤ 4.

4. Решите неравенство:

а) $$\frac{6x+9}{x-8} < 0$$

Чтобы решить это неравенство, сначала найдем нули числителя и знаменателя:

Числитель: $$6x+9=0$$$$\Rightarrow$$ $$6x = -9$$$$\Rightarrow$$ $$x = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2} = -1.5$$

Знаменатель: $$x-8=0$$$$\Rightarrow$$ $$x = 8$$

Теперь отметим эти точки на числовой прямой и рассмотрим интервалы:

• $$x < -1.5$$: $$\frac{6(-2)+9}{(-2)-8} = \frac{-12+9}{-10} = \frac{-3}{-10} = 0.3 > 0$$
• $$-1.5 < x < 8$$: $$\frac{6(0)+9}{(0)-8} = \frac{9}{-8} = -1.125 < 0$$
• $$x > 8$$: $$\frac{6(9)+9}{(9)-8} = \frac{54+9}{1} = 63 > 0$$

Неравенство меньше нуля на интервале $$-1.5 < x < 8$$. Но так как неравенство строгое, то точки $$x = -1.5$$ и $$x = 8$$ не включаются.

б) $$\frac{2x-4}{x+6} \le 4$$

Перенесем все в левую часть:

$$\frac{2x-4}{x+6} - 4 \le 0$$

$$\frac{2x-4 - 4(x+6)}{x+6} \le 0$$

$$\frac{2x-4 - 4x - 24}{x+6} \le 0$$

$$\frac{-2x-28}{x+6} \le 0$$

$$\frac{-2(x+14)}{x+6} \le 0$$

$$\frac{x+14}{x+6} \ge 0$$

Числитель: $$x+14 = 0$$$$\Rightarrow$$ $$x = -14$$

Знаменатель: $$x+6=0$$$$\Rightarrow$$ $$x = -6$$

Рассмотрим интервалы:

• $$x < -14$$: $$\frac{(-15)+14}{(-15)+6} = \frac{-1}{-9} = \frac{1}{9} > 0$$
• $$-14 < x < -6$$: $$\frac{(-7)+14}{(-7)+6} = \frac{7}{-1} = -7 < 0$$
• $$x > -6$$: $$\frac{(0)+14}{(0)+6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} > 0$$

Неравенство больше или равно нулю на интервалах $$x \le -14$$ и $$x > -6$$. Точка $$x = -14$$ включается, а точка $$x = -6$$ не включается, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Ответ: а) $$x \in (-1.5; 8)$$, б) $$x \in (-\infty; -14] \cup (-6; +\infty)$$