5. Найдите область определения функции: a) y = √4x-9x²; б) у = x²+12x+20 2x-52;

a) Найдем область определения функции $$y = \sqrt{4x - 9x^2}$$.

Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $$4x - 9x^2 \ge 0$$.

$$x(4 - 9x) \ge 0$$

Найдем нули: $$x = 0$$ или $$4 - 9x = 0 \Rightarrow 9x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{9}$$.

Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале.

    -      +      -
---(0)---(4/9)---

Выбираем интервал, где выражение больше или равно нулю.

Решение: $$0 \le x \le \frac{4}{9}$$.

б) Найдем область определения функции $$y = \frac{\sqrt{x^2 + 12x + 20}}{2x - 52}$$.

Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $$x^2 + 12x + 20 \ge 0$$.

Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 + 12x + 20 = 0$$.

$$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 - 80 = 64$$

$$x_1 = \frac{-12 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-12 + 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

$$x_2 = \frac{-12 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-12 - 8}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$

Решим методом интервалов. Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале.

    +      -      +
---(-10)---(-2)---

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю: $$x \le -10$$ или $$x \ge -2$$.

Кроме того, знаменатель не должен быть равен нулю: $$2x - 52
e 0 \Rightarrow 2x
e 52 \Rightarrow x
e 26$$.

Область определения: $$x \le -10$$ или $$-2 \le x < 26$$ или $$x > 26$$.

Ответ: a) $$0 \le x \le \frac{4}{9}$$; б) $$x \le -10$$ или $$-2 \le x < 26$$ или $$x > 26$$.