7. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно \(\sqrt{67}\).

Дано: сторона основания a = 6, боковое ребро l = \(\sqrt{67}\). Нужно найти объём правильной четырёхугольной пирамиды. 1. Найдём высоту пирамиды h. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром. Половина диагонали основания равна \(\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\). 2. По теореме Пифагора: \(h^2 + (3\sqrt{2})^2 = (\sqrt{67})^2\), откуда \(h^2 + 18 = 67\), следовательно, \(h^2 = 49\) и \(h = 7\). 3. Площадь основания (квадрата) равна \(S = a^2 = 6^2 = 36\). 4. Объём пирамиды равен \(\frac{1}{3}\) произведения площади основания на высоту: \(V = \frac{1}{3}S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84\). Ответ: Объём пирамиды равен 84.