Найдите объём прямой призмы ABC, если AB = 5, AC = 3 и наибольшая из площадей боковых граней равна 35.

Пусть призма прямая. Тогда её боковые грани - прямоугольники. Площадь боковой грани равна произведению стороны основания на высоту призмы. Пусть высота призмы равна $$h$$. Тогда площади боковых граней равны $$5h, 3h$$ и $$BC cdot h$$, где BC - третья сторона треугольника в основании. Наибольшая из этих площадей равна 35. Так как неизвестно, какая из сторон основания наибольшая, рассмотрим два случая: 1) Если $$5h = 35$$, то $$h = 7$$. Тогда площадь второй боковой грани $$3h = 3 cdot 7 = 21$$. Чтобы найти площадь третьей боковой грани, нужно найти сторону BC. По неравенству треугольника, $$BC < AB + AC$$, то есть $$BC < 5 + 3 = 8$$. Также $$BC > |AB - AC| = |5 - 3| = 2$$. Площадь грани $$BC \cdot h = BC \cdot 7$$. Так как $$BC$$ может быть разной, определить точное значение площади основания нельзя. 2) Рассмотрим, что в основании прямоугольный треугольник. Если это так, то $$BC = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$$. Площадь наибольшей боковой грани равна $$5h = 35, h = 7$$, а площадь основания равна $$\frac{1}{2} cdot 3 cdot 4 = 6$$. Объем призмы равен $$6 cdot 7 = 42$$. Ответ: 42 (если в основании прямоугольный треугольник)