4. Найдите первый член и разность арифметической про- грессии, в которой S₃ = 48 и S₆ = 141.

Решение:

Известны суммы первых трех и шести членов арифметической прогрессии:

• $$S_3 = 48$$
• $$S_6 = 141$$

Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$$

Запишем систему уравнений:

$$\begin{cases} \frac{2a_1 + (3-1)d}{2} \cdot 3 = 48 \\ \frac{2a_1 + (6-1)d}{2} \cdot 6 = 141 \end{cases}$$

Преобразуем уравнения:

$$\begin{cases} \frac{2a_1 + 2d}{2} \cdot 3 = 48 \\ \frac{2a_1 + 5d}{2} \cdot 6 = 141 \end{cases}$$ $$\begin{cases} (a_1 + d) \cdot 3 = 48 \\ (2a_1 + 5d) \cdot 3 = 141 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 3a_1 + 3d = 48 \\ 6a_1 + 15d = 141 \end{cases}$$

Разделим первое уравнение на 3, а второе на 3:

$$\begin{cases} a_1 + d = 16 \\ 2a_1 + 5d = 47 \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на -2:

$$\begin{cases} -2a_1 - 2d = -32 \\ 2a_1 + 5d = 47 \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$3d = 15$$ $$d = 5$$

Подставим значение d в первое уравнение:

$$a_1 + 5 = 16$$ $$a_1 = 11$$

Ответ:

Первый член прогрессии равен 11, разность равна 5.

Ответ: a₁ = 11, d = 5