2. В арифметической прогрессии второй член равен 7, а сум- ма 22 первых членов равна 2035. Найдите первый член и разность прогрессии.

Решение:

Пусть $$a_1$$ - первый член прогрессии, а $$d$$ - разность арифметической прогрессии.

Второй член прогрессии равен:

$$a_2 = a_1 + d = 7$$ (1)

Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$$

В данном случае:

• $$S_{22} = 2035$$,
• $$n = 22$$.

Подставим известные значения в формулу суммы:

$$S_{22} = \frac{2a_1 + (22-1)d}{2} \cdot 22 = 2035$$ $$11(2a_1 + 21d) = 2035$$ $$2a_1 + 21d = \frac{2035}{11} = 185$$ (2)

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} a_1 + d = 7 \\ 2a_1 + 21d = 185 \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на 2:

$$\begin{cases} 2a_1 + 2d = 14 \\ 2a_1 + 21d = 185 \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$19d = 171$$ $$d = \frac{171}{19} = 9$$

Подставим значение d в первое уравнение:

$$a_1 + 9 = 7$$ $$a_1 = 7 - 9 = -2$$

Ответ: первый член прогрессии равен -2, разность равна 9.

Ответ: a₁ = -2, d = 9