5. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 6-x² и y=x+4.

Находим площадь фигуры:

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем точки пересечения графиков функций \( y = 6 - x^2 \) и \( y = x + 4 \):

Приравниваем функции: \( 6 - x^2 = x + 4 \)

\[ x^2 + x - 2 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение: \( (x+2)(x-1) = 0 \)

Корни: \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 1 \).

• Шаг 2: Определяем интеграл для вычисления площади:

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности функций в пределах от -2 до 1:

\[ S = \int_{-2}^{1} ((6 - x^2) - (x + 4)) dx = \int_{-2}^{1} (2 - x^2 - x) dx \]

• Шаг 3: Вычисляем интеграл:

Первообразная функции \( 2 - x^2 - x \) равна \( 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \).

• Шаг 4: Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

\[ S = \int_{-2}^{1} (2 - x^2 - x) dx = (2(1) - \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2}) - (2(-2) - \frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2}) \]

\[ S = (2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}) - (-4 + \frac{8}{3} - 2) = (2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}) - (-6 + \frac{8}{3}) \]

\[ S = (\frac{12 - 2 - 3}{6}) - (\frac{-18 + 8}{3}) = \frac{7}{6} - (\frac{-10}{3}) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \]

Ответ: \(\frac{9}{2}\)