4. Вычислите интеграл: 1) ∫(4cos4x + 1/3 sin(x/3)) dx (пределы интегрирования от -π до π)

Вычисляем интеграл:

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим первообразную функции \( f(x) = 4\cos(4x) + \frac{1}{3}\sin(\frac{x}{3}) \):

Первообразная \( 4\cos(4x) \) это \( \sin(4x) \).

Первообразная \( \frac{1}{3}\sin(\frac{x}{3}) \) это \( -\cos(\frac{x}{3}) \).

Тогда первообразная \( F(x) = \sin(4x) - \cos(\frac{x}{3}) \).

• Шаг 2: Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

\[ \int_{-\pi}^{\pi} (4\cos(4x) + \frac{1}{3}\sin(\frac{x}{3})) dx = F(\pi) - F(-\pi) \]

\[ F(\pi) = \sin(4\pi) - \cos(\frac{\pi}{3}) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \]

\[ F(-\pi) = \sin(-4\pi) - \cos(-\frac{\pi}{3}) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \]

• Шаг 3: Вычисляем разность:

\[ F(\pi) - F(-\pi) = -\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \]

Ответ: 0