3. Найдите площадь правильного треугольника, если радиус описанной окружности 5 см.

Площадь правильного (равностороннего) треугольника можно найти через радиус описанной окружности. Связь между радиусом описанной окружности $R$ и стороной правильного треугольника $a$ выражается формулой: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ Отсюда можно выразить сторону треугольника: $a = R\sqrt{3}$ В нашем случае, $R = 5$ см, поэтому: $a = 5\sqrt{3}$ см Площадь правильного треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ Подставляем значение стороны $a$: $S = \frac{(5\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{4}$ $S \approx 32.48$ см$^2$ Ответ: Площадь правильного треугольника равна $\frac{75\sqrt{3}}{4}$ см$^2$ или приблизительно 32.48 см$^2$.