3. Найдите площадь правильного треугольника, если радиус описанной окружности 5 см.

Площадь правильного (равностороннего) треугольника можно найти через радиус описанной окружности. Связь между радиусом описанной окружности $$R$$ и стороной правильного треугольника $$a$$ выражается формулой: $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$ Отсюда можно выразить сторону треугольника: $$a = R\sqrt{3}$$ В нашем случае, $$R = 5$$ см, поэтому: $$a = 5\sqrt{3}$$ см Площадь правильного треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ Подставляем значение стороны $$a$$: $$S = \frac{(5\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{4}$$ $$S \approx 32.48$$ см$$^2$$ Ответ: Площадь правильного треугольника равна $$\frac{75\sqrt{3}}{4}$$ см$$^2$$ или приблизительно 32.48 см$$^2$$.