4. Радиус окружности, вписанной в правильный 6-угольник, равен 12 см. Найдите сторону 6-угольника и его площадь.

Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности $r$ связан со стороной $a$ следующим образом: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ Отсюда выразим сторону $a$: $a = \frac{2r}{\sqrt{3}}$ Подставляем $r = 12$ см: $a = \frac{2 \cdot 12}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ см Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле: $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$ Подставляем значение стороны $a$: $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} (8\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} (64 \cdot 3) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 192 = 3\sqrt{3} \cdot 96 = 288\sqrt{3}$ см$^2$ $S \approx 498.83$ см$^2$ Ответ: Сторона шестиугольника равна $8\sqrt{3}$ см, а его площадь равна $288\sqrt{3}$ см$^2$ или приблизительно 498.83 см$^2$.