4. Радиус окружности, вписанной в правильный 6-угольник, равен 12 см. Найдите сторону 6-угольника и его площадь.

Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности $$r$$ связан со стороной $$a$$ следующим образом: $$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$ Отсюда выразим сторону $$a$$: $$a = \frac{2r}{\sqrt{3}}$$ Подставляем $$r = 12$$ см: $$a = \frac{2 \cdot 12}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$$ см Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$ Подставляем значение стороны $$a$$: $$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} (8\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} (64 \cdot 3) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 192 = 3\sqrt{3} \cdot 96 = 288\sqrt{3}$$ см$$^2$$ $$S \approx 498.83$$ см$$^2$$ Ответ: Сторона шестиугольника равна $$8\sqrt{3}$$ см, а его площадь равна $$288\sqrt{3}$$ см$$^2$$ или приблизительно 498.83 см$$^2$$.