400. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно: а) 8 и 17; б) 5 и 13; в) 7 и 25; г) 20 и 29.

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу. Пусть $$a$$ - катет, $$c$$ - гипотенуза. Нужно найти второй катет $$b$$. По теореме Пифагора $$a^2 + b^2 = c^2$$, следовательно, $$b = \sqrt{c^2 - a^2}$$. Площадь прямоугольного треугольника $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{c^2 - a^2}$$. а) $$a = 8, c = 17$$, $$b = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$$. $$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 4 \cdot 15 = 60$$ б) $$a = 5, c = 13$$, $$b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$. $$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 5 \cdot 6 = 30$$ в) $$a = 7, c = 25$$, $$b = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$$. $$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 7 \cdot 12 = 84$$ г) $$a = 20, c = 29$$, $$b = \sqrt{29^2 - 20^2} = \sqrt{841 - 400} = \sqrt{441} = 21$$. $$S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 21 = 10 \cdot 21 = 210$$ Ответы: а) 60 б) 30 в) 84 г) 210