3. Найдите площадь равнобедренного треугольника ABC с основанием AC = 14 см и периметром 64 см.

Периметр треугольника - это сумма длин всех его сторон. В равнобедренном треугольнике две стороны равны.

Пусть AB = BC = x. Тогда периметр P = AB + BC + AC = x + x + 14 = 64.

Составим уравнение:

$$ 2x + 14 = 64 $$

Выразим x:

$$ 2x = 64 - 14 = 50 $$ $$ x = \frac{50}{2} = 25 \text{ см} $$

Итак, AB = BC = 25 см.

Для нахождения площади равнобедренного треугольника можно использовать формулу:

$$ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h $$

где h - высота, проведенная к основанию AC.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Обозначим точку пересечения высоты и основания AC как D. Тогда AD = DC = AC / 2 = 14 / 2 = 7 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора:

$$ AB^2 = AD^2 + BD^2 $$ $$ 25^2 = 7^2 + h^2 $$ $$ 625 = 49 + h^2 $$

Выразим h²:

$$ h^2 = 625 - 49 = 576 $$

Найдем h:

$$ h = \sqrt{576} = 24 \text{ см} $$

Теперь можно вычислить площадь треугольника:

$$ S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 24 = 7 \cdot 24 = 168 \text{ см}^2 $$

Ответ: 168 см²