5. Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 14 см, диагональ — 13 см. Найдите площадь трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$$ S = \frac{a + b}{2} \cdot h $$

где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

В данной задаче a = 10 см, b = 14 см. Необходимо найти высоту h.

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где AD = 14 см и BC = 10 см. Проведем высоты BH и CF к основанию AD. Тогда AF = HD = (AD - BC) / 2 = (14 - 10) / 2 = 2 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. AH = AD - HD = 14 - 2 = 12 см. Диагональ AC = 13 см.

Рассмотрим треугольник ACF. По теореме Пифагора:

$$ AC^2 = AF^2 + CF^2 $$ $$ 13^2 = 2^2 + h^2 $$

Неверно. Рассмотрим прямоугольный треугольник CFD. FD = AD - AF = 14 - 2 = 12. CD = AC = 13.

Следовательно:

$$ CD^2 = FD^2 + CF^2 $$ $$ 13^2 = 12^2 + h^2 $$ $$ 169 = 144 + h^2 $$ $$ h^2 = 169 - 144 = 25 $$ $$ h = \sqrt{25} = 5 \text{ см} $$

Теперь можно найти площадь трапеции:

$$ S = \frac{10 + 14}{2} \cdot 5 = \frac{24}{2} \cdot 5 = 12 \cdot 5 = 60 \text{ см}^2 $$

Ответ: 60 см²