593 Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если: а) АВ = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см; б) ∠C=∠D= =60°, AB = BC = 8 см; в) ∠C = ∠D = 45°, АВ = 6 см, ВС = 9√2 см.

а) Дано: трапеция ABCD, AB = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см. Найти: площадь S трапеции.

Решение:

1. Трапеция является равнобедренной, так как BC = DA.
2. Проведем высоты BH и AK к основанию CD. Тогда HK = AB = 10 см.
3. KD = (CD - HK) / 2 = (20 - 10) / 2 = 5 см.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADK. По теореме Пифагора найдем высоту AK: $$AK = \sqrt{AD^2 - KD^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$
5. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: $$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot AK = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 = \frac{30}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180 \text{ см}^2$$

б) Дано: трапеция ABCD, ∠C = ∠D = 60°, AB = BC = 8 см. Найти: площадь S трапеции.

Решение:

1. Трапеция является равнобедренной, так как углы при основании CD равны.
2. Проведем высоты BH и AK к основанию CD. Рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. Угол BCH = 60°, тогда угол CBH = 30°.
3. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Тогда HC = BC / 2 = 8 / 2 = 4 см.
4. Найдем высоту BH по теореме Пифагора: $$BH = \sqrt{BC^2 - HC^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}$$
5. Так как трапеция равнобедренная, KD = HC = 4 см. Тогда CD = AB + 2HC = 8 + 2 \cdot 4 = 8 + 8 = 16 см.
6. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: $$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot BH = \frac{8 + 16}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{24}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \text{ см}^2$$

в) Дано: трапеция ABCD, ∠C = ∠D = 45°, AB = 6 см, BC = 9√2 см. Найти: площадь S трапеции.

Решение:

1. Трапеция является равнобедренной, так как углы при основании CD равны.
2. Проведем высоты BH и AK к основанию CD. Рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. Угол BCH = 45°, тогда угол CBH = 45°.
3. Тогда треугольник CBH равнобедренный, BH = HC.
4. По теореме Пифагора: $$BC^2 = BH^2 + HC^2$$ $$(9\sqrt{2})^2 = BH^2 + BH^2$$ $$162 = 2BH^2$$ $$BH^2 = 81$$ $$BH = 9 \text{ см}$$
5. Так как трапеция равнобедренная, KD = HC = 9 см. Тогда CD = AB + 2HC = 6 + 2 \cdot 9 = 6 + 18 = 24 см.
6. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: $$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot BH = \frac{6 + 24}{2} \cdot 9 = \frac{30}{2} \cdot 9 = 15 \cdot 9 = 135 \text{ см}^2$$

Ответ: а) S = 180 см²; б) S = 48√3 см²; в) S = 135 см².