594 Основание D высоты CD треугольника АВС лежит на стороне АВ, причём AD = ВС. Найдите АС, если АВ = 3, a CD = √3.

Дано: треугольник ABC, CD - высота, AD = BC, AB = 3, CD = √3. Найти: AC.

Решение:

1. Пусть AD = x, тогда BC = x, BD = AB - AD = 3 - x.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. По теореме Пифагора найдем AC: $$AC^2 = AD^2 + CD^2 = x^2 + (\sqrt{3})^2 = x^2 + 3$$ $$AC = \sqrt{x^2 + 3}$$
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. По теореме Пифагора: $$BC^2 = BD^2 + CD^2$$ $$x^2 = (3 - x)^2 + (\sqrt{3})^2$$ $$x^2 = 9 - 6x + x^2 + 3$$ $$6x = 12$$ $$x = 2 \text{ см}$$
4. Подставим значение x в выражение для AC: $$AC = \sqrt{x^2 + 3} = \sqrt{2^2 + 3} = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7} \text{ см}$$

Ответ: AC = √7 см.