1026 В треугольнике АВС АС=12 см, ∠A = 75°, ∠C = 60°. Найди те АВ и SABC

В треугольнике ABC известны сторона AC = 12 см, угол A = 75° и угол C = 60°.

1. Найдем угол B:

$$∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 75° - 60° = 45°$$

2. Используем теорему синусов для нахождения стороны AB:

$$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$$

$$\frac{12}{\sin 45°} = \frac{AB}{\sin 60°}$$

$$AB = \frac{12 \cdot \sin 60°}{\sin 45°} = \frac{12 \cdot (\sqrt{3}/2)}{(\sqrt{2}/2)} = \frac{12 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{12 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2} = 6 \sqrt{6}$$

$$AB ≈ 6 \cdot 2.449 ≈ 14.69 \text{ см}$$

3. Используем теорему синусов для нахождения стороны BC:

$$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$$

$$\frac{12}{\sin 45°} = \frac{BC}{\sin 75°}$$

$$BC = \frac{12 \cdot \sin 75°}{\sin 45°} = \frac{12 \cdot 0.9659}{0.7071} ≈ 16.37 \text{ см}$$

4. Найдем площадь треугольника ABC:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B$$

Используем известные стороны AC и AB, а также угол A:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 \sqrt{6} \cdot \sin 75°$$

$$S_{ABC} ≈ \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 14.69 \cdot 0.9659 ≈ 85.26 \text{ см}^2$$

Ответ: AB ≈ 14.69 см, SABC ≈ 85.26 см²