1025 С помощью теорем синусов и косинусов решите треуголь- ник АВС, если: a) ∠A = 60°, ∠B=40°, c=14; 6) ∠A=30°, ∠C=75°, b=4,5; в) ∠A = 80°, а=16, b=10; г) ∠B = 45°, ∠C= 70°, a = 24,6; д) ∠A = 60°, а = 10, b = 7; e) a=6,3, b=6,3, ∠C = 54°; ж) b = 32, с = 45, ∠A=87°; 3) а = 14, b=18, c = 20; и) а = 6, b=7,3, c=4,8.

a) ∠A = 60°, ∠B = 40°, c = 14

1. Найдем угол C:

$$∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 60° - 40° = 80°$$

2. Используем теорему синусов для нахождения сторон a и b:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

$$\frac{a}{\sin 60°} = \frac{b}{\sin 40°} = \frac{14}{\sin 80°}$$

Найдем a:

$$a = \frac{14 \cdot \sin 60°}{\sin 80°} ≈ \frac{14 \cdot 0.866}{0.9848} ≈ 12.32$$

Найдем b:

$$b = \frac{14 \cdot \sin 40°}{\sin 80°} ≈ \frac{14 \cdot 0.6428}{0.9848} ≈ 9.14$$

Ответ: ∠C = 80°, a ≈ 12.32, b ≈ 9.14

б) ∠A = 30°, ∠C = 75°, b = 4,5

1. Найдем угол B:

$$∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 30° - 75° = 75°$$

2. Используем теорему синусов для нахождения сторон a и c:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

$$\frac{a}{\sin 30°} = \frac{4,5}{\sin 75°} = \frac{c}{\sin 75°}$$

Найдем a:

$$a = \frac{4,5 \cdot \sin 30°}{\sin 75°} ≈ \frac{4,5 \cdot 0.5}{0.9659} ≈ 2.33$$

Найдем c:

$$c = \frac{4,5 \cdot \sin 75°}{\sin 75°} = 4,5$$

Ответ: ∠B = 75°, a ≈ 2.33, c = 4,5

в) ∠A = 80°, a = 16, b = 10

1. Используем теорему синусов для нахождения угла B:

$$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$$

$$\frac{\sin 80°}{16} = \frac{\sin B}{10}$$

$$\sin B = \frac{10 \cdot \sin 80°}{16} ≈ \frac{10 \cdot 0.9848}{16} ≈ 0.6155$$

$$∠B = \arcsin(0.6155) ≈ 37.99°$$

2. Найдем угол C:

$$∠C = 180° - ∠A - ∠B ≈ 180° - 80° - 37.99° ≈ 62.01°$$

3. Используем теорему синусов для нахождения стороны c:

$$\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}$$

$$c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} ≈ \frac{16 \cdot \sin 62.01°}{\sin 80°} ≈ \frac{16 \cdot 0.883}{0.9848} ≈ 14.36$$

Ответ: ∠B ≈ 37.99°, ∠C ≈ 62.01°, c ≈ 14.36

г) ∠B = 45°, ∠C = 70°, a = 24,6

1. Найдем угол A:

$$∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 45° - 70° = 65°$$

2. Используем теорему синусов для нахождения сторон b и c:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

$$\frac{24,6}{\sin 65°} = \frac{b}{\sin 45°} = \frac{c}{\sin 70°}$$

Найдем b:

$$b = \frac{24,6 \cdot \sin 45°}{\sin 65°} ≈ \frac{24,6 \cdot 0.7071}{0.9063} ≈ 19.22$$

Найдем c:

$$c = \frac{24,6 \cdot \sin 70°}{\sin 65°} ≈ \frac{24,6 \cdot 0.9397}{0.9063} ≈ 25.53$$

Ответ: ∠A = 65°, b ≈ 19.22, c ≈ 25.53

д) ∠A = 60°, a = 10, b = 7

1. Используем теорему синусов для нахождения угла B:

$$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$$

$$\frac{\sin 60°}{10} = \frac{\sin B}{7}$$

$$\sin B = \frac{7 \cdot \sin 60°}{10} ≈ \frac{7 \cdot 0.866}{10} ≈ 0.6062$$

$$∠B = \arcsin(0.6062) ≈ 37.32°$$

2. Найдем угол C:

$$∠C = 180° - ∠A - ∠B ≈ 180° - 60° - 37.32° ≈ 82.68°$$

3. Используем теорему синусов для нахождения стороны c:

$$\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}$$

$$c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} ≈ \frac{10 \cdot \sin 82.68°}{\sin 60°} ≈ \frac{10 \cdot 0.9918}{0.866} ≈ 11.45$$

Ответ: ∠B ≈ 37.32°, ∠C ≈ 82.68°, c ≈ 11.45

e) a = 6,3, b = 6,3, ∠C = 54°

1. Используем теорему косинусов для нахождения стороны c:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$

$$c^2 = 6.3^2 + 6.3^2 - 2 \cdot 6.3 \cdot 6.3 \cdot \cos 54°$$

$$c^2 ≈ 39.69 + 39.69 - 79.38 \cdot 0.5878 ≈ 79.38 - 46.66 ≈ 32.72$$

$$c ≈ \sqrt{32.72} ≈ 5.72$$

2. Так как a = b, то треугольник равнобедренный, и углы A и B равны:

$$∠A = ∠B = \frac{180° - ∠C}{2} = \frac{180° - 54°}{2} = \frac{126°}{2} = 63°$$

Ответ: c ≈ 5.72, ∠A = ∠B = 63°

ж) b = 32, с = 45, ∠A = 87°

1. Используем теорему косинусов для нахождения стороны a:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$

$$a^2 = 32^2 + 45^2 - 2 \cdot 32 \cdot 45 \cdot \cos 87°$$

$$a^2 = 1024 + 2025 - 2880 \cdot 0.0523 ≈ 3049 - 150.62 ≈ 2898.38$$

$$a ≈ \sqrt{2898.38} ≈ 53.84$$

2. Используем теорему синусов для нахождения угла B:

$$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$$

$$\frac{\sin 87°}{53.84} = \frac{\sin B}{32}$$

$$\sin B = \frac{32 \cdot \sin 87°}{53.84} ≈ \frac{32 \cdot 0.9986}{53.84} ≈ 0.5939$$

$$∠B = \arcsin(0.5939) ≈ 36.43°$$

3. Найдем угол C:

$$∠C = 180° - ∠A - ∠B ≈ 180° - 87° - 36.43° ≈ 56.57°$$

Ответ: a ≈ 53.84, ∠B ≈ 36.43°, ∠C ≈ 56.57°

3) а = 14, b = 18, c = 20

1. Используем теорему косинусов для нахождения угла A:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$

$$14^2 = 18^2 + 20^2 - 2 \cdot 18 \cdot 20 \cdot \cos A$$

$$196 = 324 + 400 - 720 \cos A$$

$$720 \cos A = 324 + 400 - 196 = 528$$

$$\cos A = \frac{528}{720} ≈ 0.7333$$

$$∠A = \arccos(0.7333) ≈ 42.83°$$

2. Используем теорему косинусов для нахождения угла B:

$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$$

$$18^2 = 14^2 + 20^2 - 2 \cdot 14 \cdot 20 \cdot \cos B$$

$$324 = 196 + 400 - 560 \cos B$$

$$560 \cos B = 196 + 400 - 324 = 272$$

$$\cos B = \frac{272}{560} ≈ 0.4857$$

$$∠B = \arccos(0.4857) ≈ 60.95°$$

3. Найдем угол C:

$$∠C = 180° - ∠A - ∠B ≈ 180° - 42.83° - 60.95° ≈ 76.22°$$

Ответ: ∠A ≈ 42.83°, ∠B ≈ 60.95°, ∠C ≈ 76.22°

и) а = 6, b = 7,3, c = 4,8

1. Используем теорему косинусов для нахождения угла A:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$

$$6^2 = 7.3^2 + 4.8^2 - 2 \cdot 7.3 \cdot 4.8 \cdot \cos A$$

$$36 = 53.29 + 23.04 - 70.08 \cos A$$

$$70.08 \cos A = 53.29 + 23.04 - 36 = 40.33$$

$$\cos A = \frac{40.33}{70.08} ≈ 0.5755$$

$$∠A = \arccos(0.5755) ≈ 54.87°$$

2. Используем теорему косинусов для нахождения угла B:

$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$$

$$7.3^2 = 6^2 + 4.8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4.8 \cdot \cos B$$

$$53.29 = 36 + 23.04 - 57.6 \cos B$$

$$57.6 \cos B = 36 + 23.04 - 53.29 = 5.75$$

$$\cos B = \frac{5.75}{57.6} ≈ 0.0998$$

$$∠B = \arccos(0.0998) ≈ 84.27°$$

3. Найдем угол C:

$$∠C = 180° - ∠A - ∠B ≈ 180° - 54.87° - 84.27° ≈ 40.86°$$

Ответ: ∠A ≈ 54.87°, ∠B ≈ 84.27°, ∠C ≈ 40.86°