2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции y=x²-4x²+5x-1

Найдём промежутки возрастания и убывания функции $$y = x^3 - 4x^2 + 5x - 1$$.

1. Найдём производную функции: $$y' = 3x^2 - 8x + 5$$.
2. Найдём нули производной, приравняв её к нулю: $$3x^2 - 8x + 5 = 0$$.
3. Решим квадратное уравнение: Дискриминант $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$$.
4. Корни уравнения: $$x_1 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$ и $$x_2 = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$.
5. Отметим точки на числовой прямой и определим знаки производной на каждом интервале:
   • При $$x < 1$$: $$y' > 0$$, функция возрастает.
   • При $$1 < x < \frac{5}{3}$$: $$y' < 0$$, функция убывает.
   • При $$x > \frac{5}{3}$$: $$y' > 0$$, функция возрастает.
6. Функция возрастает на промежутках $$(-\infty; 1]$$ и $$[\frac{5}{3}; +\infty)$$. Функция убывает на промежутке $$[1; \frac{5}{3}]$$.

Ответ: Функция возрастает на $$(-\infty; 1]$$ и $$[\frac{5}{3}; +\infty)$$. Функция убывает на $$[1; \frac{5}{3}]$$