5. Построить график функции у = х³-3х²

Построим график функции $$y = x^3 - 3x^2$$.

1. Найдём производную функции: $$y' = 3x^2 - 6x$$.
2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $$3x^2 - 6x = 0$$; $$3x(x - 2) = 0$$.
3. Корни уравнения: $$x_1 = 0$$ и $$x_2 = 2$$.
4. Найдём вторую производную: $$y'' = 6x - 6$$.
5. Найдём точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю: $$6x - 6 = 0$$; $$x = 1$$.
6. Определим знаки производной и второй производной на интервалах:
   • При $$x < 0$$: $$y' > 0$$, функция возрастает; $$y'' < 0$$, функция выпукла вверх.
   • При $$0 < x < 1$$: $$y' < 0$$, функция убывает; $$y'' < 0$$, функция выпукла вверх.
   • При $$1 < x < 2$$: $$y' < 0$$, функция убывает; $$y'' > 0$$, функция выпукла вниз.
   • При $$x > 2$$: $$y' > 0$$, функция возрастает; $$y'' > 0$$, функция выпукла вниз.
7. Составим таблицу значений:
   • При $$x = 0$$: $$y = 0$$.
   • При $$x = 1$$: $$y = 1 - 3 = -2$$.
   • При $$x = 2$$: $$y = 8 - 3 \cdot 4 = 8 - 12 = -4$$.

График функции:

       ^ y
       |
       |      /\ 
       |     /  \      /\ 
       |    /    \    /  \ 
       |   /      \  /    \ 
-------0---------2--------> x
       |          \
       |           \
       |            \
       |             \
       |

Ответ: График построен.